Question

这是一道数学证明题。

这是一道数学证明题。请问这道数学题的过程该怎么写，帮忙解答一下，谢谢！

Answer 1

因为f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)
则根据罗尔定理，存在a∈(0,1)，使得f'(a)=0
令g(x)=f'(x)*(x-1)^2，则g(x)在[0,1]上可导
因为g(a)=g(1)=0，则根据罗尔定理，存在ξ∈(a,1)⊆(0,1)，使得g'(ξ)=0
f''(ξ)*(ξ-1)^2+f'(ξ)*2(ξ-1)=0
f''(ξ)=2f'(ξ)/(1-ξ)
证毕

追问

你好 ，其他的都看懂了，就是辅助函数的构造没看懂。

能帮忙解答一下吗？

追答

g(x)=f'(x)*(x-1)^2
也就是f(x)的导数乘上(x-1)的平方

追问

这个我也明白了，想知道您是怎么把这个函数找出来的，因为一眼看不出来，他的原函数是这个函数求导而来的呀

追答

解微分方程：f''(x)=2f'(x)/(1-x)
f''(x)/f'(x)=2/(1-x)
f''(x)/f'(x)+2/(x-1)=0
[ln|f'(x)|+2ln|x-1|]'=0
[ln|f'(x)*(x-1)^2|]'=0
ln|f'(x)*(x-1)^2|=C

f'(x)*(x-1)^2=C，其中C是任意常数
所以就令g(x)=f'(x)*(x-1)^2

追问

谢谢您