Question

证明｜sina－sinb｜≤｜a－b｜

Answer 1

对于任意实数a,b，证明|sinb-sina|≤|b-a|。 i.当a=b时，结论显然成立； ii.当a≠b时，不妨设a＜b，则 f(x)=sinx 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，根据拉格朗日定理，存在ξ∈(a,b)，使 f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，即 sinb-sina=(b-a)cosξ，所以 |sinb-sina|=|b-a||cosξ|≤|b-a|。