Question

公式（n+2n-1）×n-（2n-1），请问这个公式能简化么，能简化到什么程度？

Answer 1

例1 已知数列｛n ｝中，若1=1，且n+1=3n-4(n=1,2,3,…). 求数列的通项公式n.
分析：若关系式是n+1=3n即为等比数列，因此考虑处理-4，若能化为n+1+x=3(n+x),则可构造等比数列｛n+x｝。
解：设n+1=3n-4恒等变形为n+1+x=3（n+x)，即n+1=3n+2x,比较系数得：x=-2
n+1-2=3(n-2)
数列｛n-2｝是以1-2=-1为首项，公比为3的等比数列
n-2=（-1）3n-1 即n = -3n-1+2.
说明：给出一阶递推关系式形如 (n=1,2,…),A、B为常数，均可使用待定常数法，构造等比数列求出通项。
例2 已知数列｛n ｝中，前n项和sn = 2n-3n, 求数列的通项公式n.
分析：已知等式中不是递推关系式，利用可转化为：n -2n-1=2,考虑3n-1是变量，引入待定常数x时，可设n- x=2(n-1- x),从而可构造等比数列。
解：1=s1=21-3 则1=3，
当n2时， =（2n-3n）-（2n-1-3n-1）即n-2n-1=2 ,设其可恒等变形为：n- x=2(n-1- x)，（需要注意的是上面的指数，这是某种关系而不是固定的常数，故在恒等变形时需注意两边对应的关系，而不应该用X代替x，也可以不设“-”设“+”，结果是一样的。）
即 n -2n-1=x ,比较系数得：x=2.
n- 2=2(n-1- 2 )
数列｛n- 2｝是以1-6=-3为首项，公比为2的等比数列。
n- 2=（-3）2n-1
n=2-3.
说明：对于型如n=An-1+f(n)（A为常数）的一阶递推关系式。可利用待定常数法，构造等比数列；但须体现新数列相邻两项的规律性，设其可恒等变形为：n- xg(n)=A[n-1- xg(n-1)],若x存在,则可构造等比数列{ n- xg(n)}。
2 利用配方法
有些递推关系式经“配方”后，可体现等差（比）的规律性。
例3 设n0，1=5，当n2时，n+n-1=+6, 求数列的通项公式n。
分析：给出的递推关系式不能反映规律性，因此考虑去分母得：2n-2n-1=7+6(n-n-1),为体现规律性，变形为：2n-2n-1-6n+6n-1=7，即（n-3）2-(n-1-3)2=7.
解：由n+n-1=+6（n2）变形为：
2n-2n-1=7+6(n-n-1) 即（n-3）2-(n-1-3)

追问

牛逼，慢了几秒。

n的值是一个≥2的整数，我想把这个公式可以再简化一些。这个公式的原型是一捆钢管被捆成正六边形，利于存放，那么在得知六边形的一条边钢管个数后，利用公式迅速算出钢管数，之所以n≥2是因为拼成正六边形的最少钢管数量是7，而边最少是2。希望能利用六边形的一些特性公式来简化这个公式。

Answer 2

（n+2n-1）×n-（2n-1）
=3n²-n-2n+1
=3n²-3n+1

追问

我觉得还可以再简一些，能简化成口算都能算的公式。n的值是一个≥2的整数，我想把这个公式可以再简化一些。这个公式的原型是一捆钢管被捆成正六边形，利于存放，那么在得知六边形的一条边钢管个数后，利用公式迅速算出钢管数，之所以n≥2是因为拼成正六边形的最少钢管数量是7，而边最少是2。希望能利用六边形的一些特性公式来简化这个公式。