Question

求所有正实数a，使方程x^2-ax+4a=0只取整数根

Answer 1

解：

设二根为m,n(不妨设m>=n)
由韦达定理有：m+n=a
mn=4a
消去a得：mn=4(m+n)
即(m-4)(n-4)=16
所以有序实数对（m-4,n-4)可以取的值有
(16,1)，
(8,2)，
(4,4)，
(-1,-16)，
(-2,-8)，
(-4,-4)
所以(m,n）可以取的值有(20,5)
，(12,6)，
(8,8)
，(3,-12)
，(2,-4)，
(0,0)
所以a=m+n=25,18,16(-9,-2,0舍）

Answer 2

韦达定理

两根X1+X2=A

X1*X2=4A

所以X1,X2都是正的

不妨假设X1<=X2

上面式子整理,得X1*X2=4(X1+X2),再整理得(X1-4)(X2-4)=16

所以X1-4=1或2或4

X2-4=16或8或4

所以A=25
或18或16