Question

人工证明不了的“四色猜想”是什么？

Answer 1

1976年有两位年轻的科学家阿佩尔和哈肯应用计算机证明了“四色问题”。当时为世人所震惊。这是依靠计算机证明的唯一的大定理。

“四色问题”也称“四色猜想”。我们在绘制地图时，为了区别一个国家与它的邻国，一个省区与它邻近的省区，总要给不同的国(省区)与它的相邻近的国(省区)画上不同的颜色。当我们打开任何一本彩色地图册就会发现，只有4种颜色。也就是说，用四种颜色就可以把各国(省区)区分出来。这就是“四色问题”。更确切地说，在平面上或球面上绘制地图只需要用4种颜色。

提出四色猜想的第一位数学家是德国的莫比乌斯，这是1840年的事。1850年一位英国学生叫葛斯瑞也认为绘制地图4种颜色足够了。其后不久，他给弟弟写信并“证明”这个猜想正确。可惜这个证明被遗失了，许多数学家认为此证明可能也是错的。他的弟弟把葛斯瑞的这一想法写信告诉美国几位有名望的数学家，希望他们证明四色猜想。但直到1879年，其中的凯雷虽然对此问题很感兴趣，但他宣布无法证明四色猜想。

继凯雷之后，有一位从事律师工作的肯普在数学学术杂志上发表了一篇论文，说他“证明”了四色问题。可惜，他的证明也是错误的，这个错误在1899年被数学家希伍德指出。而希伍德本人发表了一篇严密论证的文章，但是他只证明五色，没有证明四色。当然，从五色着手改进方法或许能证明四色，但问题并不这样简单，从那以后100多年以来，许多数学家都想证明四色猜想。开始选择另外的方向，在国家数目上加以限制。首先是费兰克林在1920年证明，当国家的数目≤25时，四色定理成立。1926年国家数提高到27，1936年提高到31，1943年又提高到35，1968年又提高到40。为什么国家数目增加得如此之慢呢?因为每增加一两个，不同国家之间的边界关系类型就会变得复杂得多，而证明的关键是必须把地图的所有类型都考虑进去，这就给证明带来更大的困难。所以，很长时间内，四色问题未能加以证明。

1976年，阿佩尔和哈肯利用计算机给“四色猜想”加以证明，前后花了七个月时间。第一步是把所有可能的地图类型归结为有限多个不同的类型，他们归类成1936个。仅这一步就耗时6个月；第二步是证明它们用四色足够区分，这花了一个月时间。在计算机的帮助下，他们最终完成了这个证明。

但是从1976年以来，有不少数学家对此抱有怀疑态度。不论怎么说，这件事本身说明电子计算机对数学家来说是不可缺少的工具。他们的想法是，能不能找到不依赖电子计算机的人工证明，关于这一关，仍然有数学家在不断的探索中，但结果还在期盼中。