Question

某人的全部收入都用于购买X、Y两种商品，其效用函数为U=XY。此人开始收入为100，Y的价格为

某人的全部收入都用于购买X、Y两种商品，其效用函数为U=XY。此人开始收入为100，Y的价格为10，X的价格由2上升至8时，其为维持效用水平不变所需的最小收入是多少？

Answer 1

消费者均衡公式：
Px*Qx+Py*Qy=M（1）
MUx/Px=MUy/Py=MUm（2）
价格变化前：
2x+10y=100

MUx=y, MUy=x, 所以（2） => y/2=x/10 =>10y=2x
所以2x=10y=100/2=50， x=25, y=5
U=25*5=125
要维持效用水平不变，U=125，可是x的价格变成了8，那么就变成了：
125=x*y => x=125/y
8x+10y=M=1000/y+10y
方程明显是凹型的（别问，问就是套路）
M最小的时候M'= 0 = -1000/y^2+10
y^2=100, y=10
那M=200
维持效用水平不变所需的最小收入就是200.

补充：
效用水平U为Utility， MU则是Marginal Utility
所以MUx和MUy是U=XY这个图的斜率。
当MUx/Px=MUy/Py的时候，代表着U=XY（曲线）和M=PxQx+PyQy（直线）相切，所以是最大或者最小点。