Question

函数f(x)满足∫[0,1]f(tx)dt=(1/2)f(x)+1,(x≠0),求f(x)

Answer 1

左边令 u＝tx，则 dt＝du / x，
左边＝1/x * ∫(0→x) f(u) du，
原式化为 2∫(0→x) f(u) du＝xf(x)＋x，
求导，并记 y＝f(x)，得
2y＝y＋xy'＋1，
ydx - xdy＝dx，
xdy - ydx＝ - dx
(xdy - ydx) / x²＝ - 1/x² dx
积分得 y/x＝1/x＋C，
所以 y＝1＋Cx，即 f(x)＝1＋Cx。

追问

第二步为什么提出1/x之后变成了变上限积分函数啊

追答

变量代换，转化来的

左边令 u＝tx，则 dt＝du / x，
左边＝1/x * ∫(0→x) f(u) du，
原式化为 2∫(0→x) f(u) du＝xf(x)＋2x，
求导，并记 y＝f(x)，得
2y＝y＋xy'＋2，
ydx - xdy＝2dx，
xdy - ydx＝ - 2dx
(xdy - ydx) / x²＝ - 2/x² dx
积分得 y/x＝2/x＋C，
所以 y＝2＋Cx，即 f(x)＝2＋Cx。