高数c证明题这题怎么做

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第10号当铺
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这里需要一个定理 如果函数f(x)在区间 I 上的导数恒为0,那么f(x)在区间 I 上是一个常数
证明如下
设 f(x)=arctanx+arccotx
对其求导 f`(x) = 1/(1+x^2)-1/(1+x^2)=0
所以f(x)=C C为一个常数
不妨设 x=1/2 f(1/2)= π/4+π/4=π/2
即 f(x)=π/2
证毕。
坦荡又神勇丶烤红薯9257
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考察函数 F(x)=f(x)-x,
有 F(0) = f(0)>0,F(1)=f(1)-1<0,
由于可微,因此由介值定理,存在 x∈(0,1) 使 F(x)=0,
又 F'(x)=f'(x)-1≠0,所以函数 F(x) 在(0,1)内单增或单减,
因此只有一个 x 使 F(x)=0,即 f(x)=x。
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