Question

椭圆x2+4y2=4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，求这个三角形的面积。

需要“A是直角顶点
所以直角边斜率是1和-1”的证明

Answer 1

x²+4y²=4
x²/4+y²=1

a=2，b=1
长轴左顶点坐标A(-1,0)
∵椭圆关于x轴对称
∴等腰直角三角形底边的高、中线和顶角的角平分线在x轴上
∴其中一条直角边的斜率k=1
∴这条直角边所在直线的方程为y=x+2
将y=x+2代入x²+4y²=4得：
x²+4(x+2)²=4
5x²+16x+12=0
(x+2)(5x+6)=0
x+2≠0
∴5x+6＝0
∴x=-6/5，y=x+2=4/5
∴等腰直角三角形面积 = 2y*|x-2|÷2 = y|x-2| = 4/5*|-6/5-(-2)| = 16/25

Answer 2

椭圆x^2+4y^2=4,即x^2/4+y^2=1长轴上一个顶点为A(2,0)，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形ABC，
设B(2cosu,sinu),0<u<π/2，则C(2cosu,-sinu),
2-2cosu=sinu,
(2-2cosu)^2+(cosu)^2=1,
5(cosu)^2-8cosu+3=0,0<cosu<1,
所以cosu=3/5,sinu=4/5,
所以三角形ABC的面积=(4/5)^2=16/25.

Answer 3

问题是什么，是求这个三角形的面积还是证明？

追问

求这个三角形的面积，需要严密的推导过程