Question

求一道高数题16.

Answer 1

该微分方程属于缺 x 型，即缺自变量型。
设 y' = p 则 y'' = dp/dx = (dp/dy)(dy/dx) = pdp/dy
微分方程化为 pdp/dy +p^2 = pe^(-2y)
p = 0 或 dp/dy + p = e^(-2y)
p = dy/dx = 0, 得 y = C；
dp/dy + p = e^(-2y)
p = e^(∫-dy)[∫e^(-2y)e^(∫dy)dy + C1]
= e^(-y)[∫e^(-2y)e^ydy + C1] = e^(-y)[∫e^(-y)dy + C1]
= e^(-y)[-e^(-y) + C1] = dy/dx
dx = e^ydy/[-e^(-y) + C1] = e^(2y)dy/(C1e^y-1)
dx = e^yde^y/(C1e^y-1) = (1/C1)[1+1/(C1e^y-1)]de^y
C2 + x = (1/C1)[e^y + (1/C1)ln(C1e^y-1)

Answer 2

因为刚好算到5阶的时候，x^5的系数不为0。
x、x³的系数都刚好抵消，变为0，而5次方的对应系数不为0。
这个不是凭空感觉知道算到5阶就可以了，而是将sinx和sin2x分别泰勒展开后观察得到的。其实可以展开到很多很多项，但5阶刚刚好，更高阶的已经没有必要了。

Answer 3