Question

计算： 不定积分∫1/[(1+2x）(1+x^2)]dx 定积分∫ (x-2) √(4-x^2)dx （上限2，下限-2）

Answer 1

待定系数法：
1/[(1
+
2x)(1
+
x^2)]
=
a/(1
+
2x)
+
(bx
+
c)/(1
+
x^2)
1
=
a(1
+
x^2)
+
(bx
+
c)(1
+
2x)
当x
=
-1/2，1
=
1.25a
=>
a
=
4/5
当x
=
0，1
=
4/5
+
c
=>
c
=
1/5
当x
=
1，1
=
8/5
+
(b
+
1/5)(3)
=>
b
=
-2/5
∫
dx/[(1
+
2x)(1
+
x^2)]
=
(4/5)∫
dx/(1
+
2x)
-
(2/5)∫
x/(1
+
x^2)
dx
+
(1/5)∫
dx/(1
+
x^2)
=
(4/5)(1/2)ln|1
+
2x|
-
(2/5)(1/2)ln(1
+
x^2)
+
(1/5)arctan(x)
+
C
=
(2/5)ln|1
+
2x|
-
(1/5)ln(1
+
x^2)
+
(1/5)arctan(x)
+
C
__________________________________________________________
∫(-2到2)
(x
-
2)√(4
-
x^2)
dx
=
∫(-2到2)
x√(4
-
x^2)
dx
-
2∫(-2到2)
√(4
-
x^2)
dx
=
0
-
4∫(0到2)
√(4
-
x^2)
dx
用几何意义解比较快速
表示的圆是x^2
+
y^2
=
4，半径为2，
范围由-2到2表示半圆面积
范围由0到2表示1/4的圆面积
=
π(2)²
*
1/4
=
π
所以定积分
=
-4(π)
=
-4π
方法二：用第二类换元法，用代换x
=
2sinθ即可。