Question

试证明正项级数Σ(n从1到∞)(2^n)(tanπ/3^n)收敛

Answer 1

你的题目貌似写错了，如果说级数是Σ(n从1到∞)(2^n)(tanπ/3^n)，那级数的和就等于零，因为tanπ不是无穷小量，tanπ=0，因此无论多少个零相加，其和依然为0；如果说级数是Σ(n从1到∞)(2^n)tan(π/3^n)，对于足够大的N，Σ(n从1到N)(2^n)tan(π/3^n)=常量，在N足够大时，tan(π/3^n)=π/3^n,从而Σ(n从N+1到∞)(2^n)tan(π/3^n)=Σ(n从N+1到∞)(2^n)*π/3^n=2^(N+1)*π/3^N<另一常量，因此Σ(n从1到∞)(2^n)(tanπ/3^n)上有界，又通项为正，即满足单增且有上界，故该级数收敛，证毕。

Answer 2

tan
π/(n^3+n+1)^1/2
等价于π/(n^3+n+1)^1/2
而
lim
[π/(n^3+n+1)^1/2]
/n^(3/2)=π
即
σπ/(n^3+n+1)^1/2和σ1/n^(3/2)具有相同的敛散性
而σ1/n^(3/2)收敛，
所以
σπ/(n^3+n+1)^1/2收敛
从而
σtan
π/(n^3+n+1)^1/2收敛。