行列式证明
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证明:行列式记为Dn.
按第1列展开得:
Dn=2cosθD(n-1)
-
D(n-2).
下用归纳法证明
当n=1时,
D1=2cosθ
sin(n+1)θ/sinθ=sin2θ/sinθ=2cosθ.
所以n=1时结论成立,即D1=sin(1+1)θ/sinθ.
假设kDn=2cosθD(n-1)
-
D(n-2)
=2cosθsin(n-1+1)θ/sinθ
-
sin(n-2+1)θ/sinθ
=2cosθsinnθ/sinθ
-
sin(n-1)θ/sinθ
=[2cosθsinnθ
-
sin(n-1)θ]/sinθ
=[sin(n+1)θ+sin(n-1)θ
-
sin(n-1)θ]/sinθ
=
sin(n+1)θ/sinθ
所以k=n时结论也成立.
按第1列展开得:
Dn=2cosθD(n-1)
-
D(n-2).
下用归纳法证明
当n=1时,
D1=2cosθ
sin(n+1)θ/sinθ=sin2θ/sinθ=2cosθ.
所以n=1时结论成立,即D1=sin(1+1)θ/sinθ.
假设kDn=2cosθD(n-1)
-
D(n-2)
=2cosθsin(n-1+1)θ/sinθ
-
sin(n-2+1)θ/sinθ
=2cosθsinnθ/sinθ
-
sin(n-1)θ/sinθ
=[2cosθsinnθ
-
sin(n-1)θ]/sinθ
=[sin(n+1)θ+sin(n-1)θ
-
sin(n-1)θ]/sinθ
=
sin(n+1)θ/sinθ
所以k=n时结论也成立.
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