Question

计算∫L（（x+y)dx+(x-y)dy),其中L是抛物线y=x^2从点（0,0）到（1,1）的一段弧。

Answer 1

设P=x+y,
Q=x-y
因为满足Q'x=P'y
所以原积分与路径无关，可以选择两点之间的线段M，y=x，x从0到1来进行积分。
原积分=∫(x+y)dx+(x-y)dy=∫M
(x+x)dx+(x-x)dx=2∫(0->1)
xdx=1

Answer 2

p=2xy³-y²cosx，q=1-2ysinx+3x²y²
易验证：∂q/∂x=∂p/∂y=6xy²-2ycosx
因此本题积分与路径无关，可自选积分路线
选从(0，0)到(π/2，1)的折线，
l1：y=0，x：0--->π/2
l2：x=π/2，y：0--->1
则原。