Question

在△ABC中，∠A=∠B=∠C,点P为三角形内任意一点，PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，AB=a

Answer 1

(1)证明：连接PA、PB、PC
∴△ABC的面积=△APB面积+△APC面积+△BPC面积
∵∠A＝∠B＝∠C
∴AB=AC=BC
过A做AG垂直于BC于G，
所以：1/2
AG·BC=1/2
(PD
+PE
+PF)·BC
∴PD+PE+PF=AG
而AG是等边三角形的高，是定值
所以PD+PE+PF为定值
（2）因为△ABC是等边三角形，
AB=a
∴BG=1/2
a
再根据勾股定理可以计算得出：AG=√3/2

Answer 2

解：连接PA、PB、PC，过点A作AH⊥BC于H。

显然，S△PAB+S△PBC+S△PAC
=
S△ABC

即：1/2
AB*PF
+
1/2
BC*PD
+
1/2
AC*PE
=
1/2
BC*AH

∵AB
=
BC
=
AC
=
a

∴
PD+PE+PF=
AH

由于，BH
=
CH
=
1/2
a

∴AH
=
√3/2
a
故：PD+PE+PF
为定值，且等于
√3/2
a