Question

R上奇函数f(x)满足f(x一4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,

Answer 1

由f(x-4)=-f(x)，令u=x-4，得f(u)=-f(u
4)，即有f(x)=-f(x
4)
从而f(x-4)=-f(x)=f(x
4)
令v=x-4，得f(v)=f(v
8)，既有f(x)=f(x
8)，f(x)的周期为8
由于该函数在[0，2]上是增函数，由对称性知在[-2，0]上也是增函数，即f(x)在[-2，2]上是增函数
f(-25)=(-3*8-1)=f(-1)
f(80)=f(10*8
0)=f(0)
f(11)=f(1*8
3)=f(3)=f(-1
4)=-f(-1)=f(1)
由f(-1)<f(0)<(1)
得f(-25)<
f(80)<
f(11)

Answer 2

(1)f(x)=-f(x-4),为
奇函数
∴f(x+2)=-f(x+2-4)=-f(x-2)=f(2-x)
∴图像关于x=2对称，由于奇函数f(-x)=-f(x),将x=0代入，只要x=0在
函数定义域
内，必有
f(0)=-f(0)→f(0)=0
(2)f(x-4)=-f(x)→f(x)=-f(x-4)
令
x=x+4,代入：
f(x)=-f(x+4)
∴f(x+4)=f(x-4)
再令
x=x+4，再次代入：
f(x+8)
=
f(x)
∴函数是以8为
最小正周期
的
周期函数
(3)题中已经告知，x∈[0,2]是
增函数
，根据奇函数和周期函数的特点可以画出示意图（仅为示意图，就已知条件，无法得出f(x)是分段
一次函数
的，比如f(x)=sin(πx/4）也是符合要求的）