Question

双曲函数与三角函数

Answer 1

事实上，只需要记住两个函数，其它的函数以及相应的微积分都可以很自然的推出
双曲正弦sinh(x)=(e^x-e^{-x})/2
双曲余弦cosh(x)=(e^x+e^{-x})/2
这两个函数只能死记
其它的函数可以类似三角函数推出：
双区正切tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)
双曲余切coth(x)=cosh(x)/sinh(x)
双曲正割sech(x)=1/cosh(x)
双曲余割csch(x)=1/sinh(x)
它们的反函数很容易就能推出，这里不再详述。
下面看导数：
由于双曲函数是由指数函数定义的，这导致了对双曲函数求导是一件很轻松的事情，要是愿意背也行，要是不愿意背，现推也不费事。
(sinh(x))'=((e^x-e^{-x})/2)'=(e^x+e^{-x})/2=cosh(x)
(cosh(x))'=((e^x+e^{-x})/2)'=(e^x-e^{-x})/2=sinh(x)
其它几个双曲函数和反双曲函数也是类似的基础的求导即可，特别是反双曲函数，比反三角函数的导数容易求。
值得注意的是一个公式，相对于三角函数类似的公式有些不同，自己根据定义即可推出：
cosh^2(x)-sinh^2(x)=1

Answer 2

sin(y)
=(e^(iy)-e^(-iy))/(2i)
(欧拉公式:e^(iy)=cos(y)+isin(y);
e^(-iy)=cos(y)-isin(y))
cos(y)=(e^(iy)+e^(-iy))/2
双曲正弦sinh(x)=(e^x-e^{-x})/2
双曲余弦cosh(x)=(e^x+e^{-x})/2
让x=iy,
或y=
-ix,
通过一个已知的三角函数公式快速的得到双曲函数的公式或者是微分积分
sinh(x)=i*sin(-ix)
cosh(x)=cos(-ix)