Question

求(x+（1/x）-1)^5展开式中的常数项

Answer 1

[x+（1/x）-1]^5
Tr+1=C(5,r)(x+1/x)^(5-r)×(-1)^r
(r=0,1,2,3,4,5)
每一个(x+1/x)^(5-r)展开式的常数项的和是所求
5-r为偶数时，(x+1/x)^(5-r)展开式的常数项含常数项
∴r=1,3,5
r=1时，(x+1/x)^4展开式常数项是C(4,2)
r=3时，（x+1/x)^2=x^2+2+1/x^2,常数项是2
r=5时，(x+1/x)^0*（-1)^5=-1
∴[x+（1/x）-1]^5的常数项为：
C(5,1)C(4,2)*(-1)+C(5,3)×2×(-1)-1
=-30-20-1=-51
补证：(x+1/x)^n有常数项n是偶数
Tr+1=C(n,r)x^(n-r)(1/x)r=C(n,r)x^(n-2r)
n-2r=0,n=2r,∵r=0,1,2,...n
∴n是偶数

Answer 2

那个5是指数么，看成整体来做先展开c（组合数）（5，0）(x+1/x)^5+c（5，1）(x+1/x)^4(-1)^1+c（5，2）(x+1/x)^3(-1)^2+c（5，3）(x+1/x)^2(-1)^3+c（5，4）(x+1/x)^1(-1)^4+c（5，5）(-1)^5
出现常数项就是要x和1/x的指数相等
有可能出现常数的项有c（5，1）(x+1/x)^4(-1)^1、c（5，3）(x+1/x)^2(-1)^3、c（5，5）(-1)^5它们常数项依次为-c（5，1）c（4，2）、-c（5，3）c（2，1）、-c（5，5）相加可以得到
-（5*6+10*2+1）=-51
看起来复杂写起来很简单的~~~