Question

已知函数f(x)对任意实数x,y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)=-2.

Answer 1

取x＝y＝0，由“f(x)对任意实数x,y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)”得f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0，
再取y＝－x，由“f(x)对任意实数x,y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)”得f(x)+f(－x)
=
f(0)=0，所以f(x)是奇函数，所以f(x2)+
f(-x1)=
f〔x2+
(-x1)〕=f(x2-x1)，因为“对任意实数x∈R
，x＞0时，f(x)＜0”，那么取x＝x2-x1＞0，则f(x)＝f(x2-x1)<0。
2）f(1)=－2（已知），f(2)=f(1+1)（依据“2＝1＋1”）=f(1)+f(1)
（依据“函数f(x)对任意实数x,y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)”）=2f(1)=－4（已知f(1)=－2），f(－2)=－f(2)＝4（依据“f(x)在R上是奇函数”），f(2x+5)+f(6-7x)
=
f[(2x+5)+
(6-7x)]，所以f[(2x+5)+
(6-7x)]＞4=f(-2)（将数字4换成函数值f(-2)，便于逆用函数单调性，由函数值的大小关系转化到比较自变量的大小），f[(2x+5)+
(6-7x)]>
f(-2)，f(11-5x)>
f(-2)，f（x)在R上为减函数，11-5x<-2，x>13/5