Question

设A,B为n阶方阵,A可逆,B^2+BA+A^2=0,求证B和A+B是可逆矩阵,并求B,A+B的逆矩阵。求

Answer 1

原式写成B(B+A)=-A^2……（1）
原式右乘A的逆得B^2*(A的逆)+B+A=0，即B+A=-B^2*(A的逆)
……（2）
把（2）代入（1）得B[-B^2*(A的逆)
]=-A^2，右乘A，得B^3=A^3
两边同时右乘A^(-3)得B[B^A*B^(-3)]=E
故B可逆且B的逆为A^2*B^(-3)
（1）两边同时左乘-A^(-2)得B+A可逆，其逆为-A^(-2)B

Answer 2

ab-b=a,
(a-e)b-e=a-e,
(a-e)(b-e)=e,所以a-e可逆
逆矩阵为b-e
由1知
（a-e)和b-e
互逆
所以（b-e)(a-e)=e
与(a-e)(b-e)=e,展开比较就可以得到ab=ba
希望你满意