Question

如图已知AC平行BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,E是CD的中点。求证：AB=AC+BD

Answer 1

已知：如图AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．
求证：（1）AE⊥BE； （2）AB=AC+BD．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）首先证明∠CAB+∠DBA=180°，再利用角平分线的性质证明∠EAB=
1
2
∠CAB，∠EBA=
1
2
∠DBA，可得到∠EAB+∠EBA=90°，进而可证出AE⊥BE；
（2）首先在AB上截取AF=AC，连接EF，证明△CAE≌△FAE，可证出∠CEA=∠FEA，可得到∠FEB=∠DEB，再证明△DEB≌△FEB，可得到BD=BF，即可证出AB=AC+BD．解答：证明：（1）∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠DBA=180°（1分）
又∵AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，
∴∠EAB=
1
2
∠CAB，∠EBA=
1
2
∠DBA，
∴∠EAB+∠EBA=
1
2
(∠CAB+∠DBA)=90°，
∴AE⊥BE （4分）
（2）在AB上截取AF=AC，连接EF，
在△CAE和△FAE中
AC=AF
∠CAE=∠FAE
AE=AE
，
∴△CAE≌△FAE，
则∠CEA=∠FEA，（8分）
又∠CEA+∠BED=∠FEA+∠FEB=90°，
∴∠FEB=∠DEB，
∵BE平分∠DBA，
∴∠DBE=∠FBE，
在△DEB和△FEB中
∠DEB=∠FEB
EB=EB
∠DBE=∠FBE
，
∴△DEB≌△FEB（ASA），（10分）
∴BD=BF，又∵AF=AC，
∴AB=AF+FB=AC+BD． （12分）

Answer 2

ab中点设为G
连接EG
。。。。
有个定理（初中几何
离我已经很遥远了
忘记什么定理了。。。）可得
EG等于
AC+BD的
一半。。。。而且EG还
平行于AC
和
BD，，，，然后
用内错角相等（应该叫内错角）。。。。LCAE=LAEG（L代表
角的意思）。。。又因为
LCAE=LEAB
所以AG=EG
同理
可证EG=BG
所以
AB等于
2倍的EG
所以
AC+BD=AB

Answer 3

过C做AE的垂线并延长交AB与F，连接DF，DF与EB交点为G
则∠BAE+∠CFA=90°，AC=AF
由AC∥BD，=》∠CAB+∠DBA=180°
又AE，BE为角分线，=》∠EAB+∠EBA=90°
=》∠CFA=∠EBA
=》CF∥EB
E为CD中点
=》G为FD中点
即FG=GD
=》△FGB≌△DGB
=》DB=FB
AB=AF+FB=AC+BD