Question

求函数y=(2-sinx)/(2-cosx)的最大值和最小值

Answer 1

y=(2-sinx)/(2-cosx)
方程两边同乘以2-cosx
y(2-cosx)=2-sinx
将方程左边展开，即得
2y-ycosx=2-sinx
√(1+y²)·sin(x-θ)=2-2y,其中θ满足sinθ=y/√(1+y²),cosθ=1/√(1+y²),
∴sin(x-θ)=(2-2y)/√(1+y²).
∵|sin(x-θ)|≤1,∴|(2-2y)/√(1+y²)|≤1,
得3y²-8y+3≤0.
解得(4-√7)/3≤y≤(4+√7)/3,所以最大值为(4+√7)/3.

Answer 2

用圆的知识来答吧！
为了不混淆，我用a代替题中的函数自变量
注意到圆心在原点且半径为1的圆的参数方程为
x=cosa
y=sina
那么
f(a)=(sina-1)/(cosa-2)
不正是代表点p(cosa,sina)与q(2,1)连线的斜率吗？
q是定点，p在圆上运动时，易见pq连线的斜率（即f(a)）在pq与圆相切时（共两个情况）分别取得最大值与最小值，求到两个切线的斜率就是答案
事实上，设pq的方程为
y-1=k(x-2)（它经过(2,1)，斜率为k）
即kx-y-2k+1=0
注意到因pq与圆相切，故原点到直线的距离为1
由点到直线距离公式有
|k*0-0-2k+1|/[(k^2+1)^(1/2)]=1
平方化简得二次方程
3k^2-4k=0
故k=0,4/3
于是所求最小值为0，最大值为4/3

Answer 3

y=(2-sinx)/(2-cosx)
方程两边同乘以2-cosx
y(2-cosx)=2-sinx
将方程左边展开，即得
2y-ycosx=2-sinx
sinx-ycosx=2-2y
√(1+y²)·sin(x-θ)=2-2y,
(tgθ=y)
∴sin(x-θ)=(2-2y)/√(1+y²).
sin(x-
θ)^2=(4-8y+y^2)/(1+y^2)
0<=4-8y+y^2/(1+y^2)<=1
,
大于0恒成立。
得3y²-8y+3≤0.
（3y+1)(y-3)<=0
得：-1/3<=y<=3
最小值：-1/3
最大值：3