Question

设a,b,c的绝对值小于1，求证:bc+ca+ab+1>0

Answer 1

设a,b,c的绝对值小于1，求证:bc+ca+ab+1>0
证明
构造一次函数,f(x)=(b+c)x+bc+1,
｜x｜<1.
它的图像是一条线段，且不包括两个端点，[-1,f(-1))]
和[1,f(1)].
若能证明其两个端点的函数值f(-1)
和f(1)
均大于0,
则对定义域内的每一点x,f(x)
恒大于0.
因为｜b｜<1,｜c｜<1，则
f(-1)=-(b+c)+bc+1=(b-1)*(c-1)>0，
f(1)=b+c+bc+1=(b+1)*(c+1)>0.
所以f(a)=a(b+c)+bc+1>0。证毕.

Answer 2

我能给出最简单的做法！
a+b,b+c,c+a这三个数中，有抽屉原则知，必有两个同正负（0人未遇任何数同正负）
不妨设
a+b，a+c同正负，则(a+b)(a+c)>=0
另一方面
1-a^2>0
所以
ab+bc+ca+1=
[a^2+a(b+c)+bc]
+
(1-a^2)
=(a+b)(a+c)+(1-a^2)>0

Answer 3

a,b,c是绝对值小于1
易得|ab|，|bc|，|ca|均小于1
即(ab+1),(ac+1),(bc+1)均大于0
a,b,c中若有数为零，例a=0则
ab+bc+ca+1=bc+1>0
若三数均不为0，其中必有至少两个数同号
假设a,b同号，即有ab>0
由于|c|所以ab*c^2所以
ab+bc+ca+1>ab*c^2+bc+ca+1=(ac+1)(bc+1)>0