Question

已知数列an中a1＝1,an+1=2an+3^n,求通项公式

Answer 1

解：
a(n+1)=2an
+3ⁿ
a(n+1)-3^(n+1)=2an+3ⁿ
-3^(n+1)=2an+3ⁿ
-3×3ⁿ=2an-2×3ⁿ=2(an-3ⁿ)
[a(n+1)-3^(n+1)]=2(an
-3ⁿ)
a1
-3^1=3-3=0
数列{an
-3ⁿ}是各项均为0的常数数列。
an-3ⁿ=0
an=3ⁿ
n=1时，a1=3^1=3，同样成立。
综上，得an=3ⁿ。

Answer 2

解：
a
=2an+3^n
两边同时除以2^(n+1)，则
a
/2^(n+1)=an/2^n+(3/2)^n
a
/2^(n+1)-an/2^n=(3/2)^n
再用累加法：
a2/2^2-a1/2=3/2
a3/2^3-a2/2^2=(3/2)^2
…………
an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=(3/2)^(n-1)
相加得
an2^n-a1
/2=3/2+(3/2)^2+……+(3/2)^(n-1)
=3/2*[1-(3/2)^(n-1)]/(1-3/2)
=-3*[1-(3/2)^(n-1)]
=-3*(3/2)^(n-1)-3
an/2^n=-3*(3/2)^(n-1)-3+a1
/2
=-3*(3/2)^(n-1)-3+1
/2
=-3*(3/2)^(n-1)-5/2
an=[-3*(3/2)^(n-1)-5/2]*2^n
=-3*3^(n-1)
/2^(n-1)
2^n
-5/2*2^n
=-3^n
*2
-5*2^(n-1)
=-2*3^n-5*2^(n-1)