Question

一个极限的证明

lim （1+1/N）^N
N→∞
怎么证啊？
请稍微详细些，只有高中水平。。。多谢。。。
不好意思，还有=e没写。。。 那个是n次方。
呃。。。关于2楼您的ctrl+C以及ctrl+V，我只能表示效率很高。。。

Answer 1

N→∞,lim （1+1/N）^N=e
证明一:
二项式定理得：
（1+1/n）^n =1+1+1/2！+1/3！+1/4！+1/5！+1/6！+ … + 1/n！
当n -> +∞时，由定义得lim （1+1/N）^N=e

证明二：
设f(n)=(1+1/(n+1))^n,g(n)=(1+1/n)^(n+1)
易知f(n)<(1+1/n)^n<g(n)
而limf(n)=lim(1+1/n)^n=limg(n)，(n -> +∞)
且f(n)递增，g(n)递减
由介值定理，得lim(1+1/n)^n=e

证明三：
ln[(1+1/n)^n] = n*ln(1+1/n),
对ln(1+1/n)泰勒展开得1/n+o(n^(-2)),
所以n*ln(1+1/n)=1+o(1/n),
也就是lim(ln(1+1/n)^n) = 1,
所以(1+1/n)^n的极限是e.

自己看《数学分析》第三章“极限论”，这是经典证明。

Answer 2

题目能不能再写清楚点，是求当N趋于无穷大时一加N分之一再怎么样N的极限？？