初中一次函数题求解
如图5,已知抛物线P:y=ax2+bx+c(a≠0)与轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上),与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段上,顶点F、G分别在线段BC...
如图5,已知抛物线P:y=ax2+bx+c(a≠0)与轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上),与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段上,顶点F、G分别在线段BC、AC上,抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下: x … ﹣3 ﹣2 1 2 … y … ﹣2.5 ﹣4 ﹣2.5 0 … (1)求A、B、C三点的坐标; (2)若点D的坐标为(m,0),矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关系,并指出m的取值范围; (3)当m为何值时,矩形DEFG的面积S取最大值,是多少?
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分析:(1)要求A、B、C三点的坐标,就要先求出抛物线的关
系式.对于这个问题,我们可以用一般的方法求,设出所求
函数关系
式,从表中任取三组值代入,求出其关系式,然后再通过令y=0,x=0,
求出A、B、C三点的坐标;也可以观察表中所给点的特征,点(1,-
),
(-3,
)的函数值相等,故这两点是关于对称轴对称的,可根据对称性求出对称轴,再求出A、B、C三点的坐标.
(2)可通过三角形相似,把矩形DEFG的长与宽分别用m表示,再用
面积公式
建立S与m的函数关系.
(3)根据(2)中的函数关系式,求出矩形DEFG的面积S取最大值时各
顶点坐标
,确定DF所在直线关系式,再与已知抛物线联立,求出交点坐标,再确定k的取值范围.
解:(1)解法一:设,任取x,y的三组值代入,求出关系式.令y=0,求出;令x=0,得y=
-4,∴
A、B、C三点的坐标分别是A(2,0),B(-4,0),C(0,-4).
解法二:由抛物线P过点(1,-
),(-3,
)可知,抛物线P的对称轴方程为x=
-1.又∵
抛物线P过(2,0)、(-2,-4),则由抛物线的对称性可知,∴
A、B、C三点的坐标分别是A(2,0),B(-4,0),C(0,-4).
(2)由题意,得,而AO=2,OC=4,AD=2-m,故DG=4-2m,又
,EF=DG,得BE=4-2m,∴
DE=3m,∴SDEFG=DG·DE=(4-2m)
3m=12m-6m2
(0<m<2=.
(3)∵SDEFG=12m-6m2
(0<m<2),∴m=1时,矩形的面积最大,且最大面积是6.当矩形面积最
大时
,其顶点为D(1,0),G(1,-2),F(-2,-2),E(-2,0).易求得直线DF的关系式.又抛物线P的解析式为:,令
=
,可求出x=.设射线DF与抛物线P相交于点N,则N的横坐标为,过N作x轴的垂线交x轴于H,有
=
=
,点M不在抛物线P上,即点M不与N重合时,此时k的取值范围是k≠且k>0.
系式.对于这个问题,我们可以用一般的方法求,设出所求
函数关系
式,从表中任取三组值代入,求出其关系式,然后再通过令y=0,x=0,
求出A、B、C三点的坐标;也可以观察表中所给点的特征,点(1,-
),
(-3,
)的函数值相等,故这两点是关于对称轴对称的,可根据对称性求出对称轴,再求出A、B、C三点的坐标.
(2)可通过三角形相似,把矩形DEFG的长与宽分别用m表示,再用
面积公式
建立S与m的函数关系.
(3)根据(2)中的函数关系式,求出矩形DEFG的面积S取最大值时各
顶点坐标
,确定DF所在直线关系式,再与已知抛物线联立,求出交点坐标,再确定k的取值范围.
解:(1)解法一:设,任取x,y的三组值代入,求出关系式.令y=0,求出;令x=0,得y=
-4,∴
A、B、C三点的坐标分别是A(2,0),B(-4,0),C(0,-4).
解法二:由抛物线P过点(1,-
),(-3,
)可知,抛物线P的对称轴方程为x=
-1.又∵
抛物线P过(2,0)、(-2,-4),则由抛物线的对称性可知,∴
A、B、C三点的坐标分别是A(2,0),B(-4,0),C(0,-4).
(2)由题意,得,而AO=2,OC=4,AD=2-m,故DG=4-2m,又
,EF=DG,得BE=4-2m,∴
DE=3m,∴SDEFG=DG·DE=(4-2m)
3m=12m-6m2
(0<m<2=.
(3)∵SDEFG=12m-6m2
(0<m<2),∴m=1时,矩形的面积最大,且最大面积是6.当矩形面积最
大时
,其顶点为D(1,0),G(1,-2),F(-2,-2),E(-2,0).易求得直线DF的关系式.又抛物线P的解析式为:,令
=
,可求出x=.设射线DF与抛物线P相交于点N,则N的横坐标为,过N作x轴的垂线交x轴于H,有
=
=
,点M不在抛物线P上,即点M不与N重合时,此时k的取值范围是k≠且k>0.
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