Question

初中一次函数题求解

如图5，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0)与轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： x … ﹣3 ﹣2 1 2 … y … ﹣2.5 ﹣4 ﹣2.5 0 … （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围； （3）当m为何值时，矩形DEFG的面积S取最大值，是多少？

Answer 1

分析：（1）要求A、B、C三点的坐标，就要先求出抛物线的关
系式．对于这个问题，我们可以用一般的方法求，设出所求
函数关系
式，从表中任取三组值代入，求出其关系式，然后再通过令y=0，x=0，
求出A、B、C三点的坐标；也可以观察表中所给点的特征，点(1，-
)，
(-3，
)的函数值相等，故这两点是关于对称轴对称的，可根据对称性求出对称轴，再求出A、B、C三点的坐标．
（2）可通过三角形相似，把矩形DEFG的长与宽分别用m表示，再用
面积公式
建立S与m的函数关系．
（3）根据（2）中的函数关系式，求出矩形DEFG的面积S取最大值时各
顶点坐标
，确定DF所在直线关系式，再与已知抛物线联立，求出交点坐标，再确定k的取值范围．
解：（1）解法一：设，任取x，y的三组值代入，求出关系式．令y=0，求出；令x=0，得y=
-4，∴
A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4)．
解法二：由抛物线P过点(1，-
)，(-3，
)可知，抛物线P的对称轴方程为x=
-1．又∵
抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，∴
A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4)．
（2）由题意，得，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，又
，EF=DG，得BE=4-2m，∴
DE=3m，∴SDEFG=DG·DE=(4-2m)
3m=12m-6m2
(0＜m＜2＝．
（3）∵SDEFG=12m-6m2
(0＜m＜2），∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．当矩形面积最
大时
，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)．易求得直线DF的关系式．又抛物线P的解析式为：，令
=
，可求出x=．设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有
=
=
，点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是k≠且k＞0．