Question

已知函数,当时,若对,不等式恒成立,求实数的取值范围.

已知函数,当时,若对,不等式恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

由题意可得,时,不等式恒成立.再分当时,当当,当时三种情况,分别求得的范围,再取交集,即为所求.
解:由题意可得,时,不等式恒成立.
当时,即恒成立,由于当时,不等式左边取得最小为,
再由求得,.
当,即恒成立,由于当时,不等式的左边取得最小值为,
再由求得.
当时,即恒成立,该不等式对应的二次函数的图象开口向上,
对称轴为,
若,则当时,不等式的左边取得最小值为,由为,求得,
故此时有.
若,则当时,不等式的左边取得最小值为,由为,求得,
故此时有.
若,则当时,不等式左边取得最小值为,求得,
故此时有.
故在此分类条件下,.
综合,,,可得,即的范围为.
本题主要考查二次函数的性质的应用,体现了分类讨论,转化的数学思想,属于基础题.