Question

已知函数f(x)＝log1/2 (x2－2ax＋3),若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围；

Answer 1

你是被
log1/2(x)
中
x>0
迷惑了。
也说明你没有真正理解：y=loga(x)
的定义域为
R+
，值域为
R
这句话的含义。
事实上，y=loga(x)
的定义域为
R+
，是说
x
要取遍所有正数，这时才有
y
值域为
R
。
只要
y=loga(x)
的
x
有一个正数取不到，y
的值域中就缺少一个实数（如
x
≠
2，则
y
≠
loga(2)
）。
所以，要使
y=log1/2(x^2-2ax+3)
的值域为
R
，一定要使
x^2-2ax+3
能取遍所有正数，也就是
x^2-2ax+3
的最小值为
0
或负数，因此判别式>=0
。
至于
x^2-2ax+3
取负数时对数无意义，这是很自然的，0
和负数没对数嘛。可是为什么要它取负数呢？？就像
loga(x)
中的
x
一样，只取正数不取负数不就得了吗？
再重复一遍那句话的含义：y=loga(x)
只有
x
能取遍所有正数，y
的值域才是
R
。

Answer 2

真数大于0，没有错，但真数的值域不一定非要是(0,正无穷)啊，
真数的值域可以是(1,正无穷)，也可以是(-1，正无穷)，也可以是(-1,1)等等；
比如真数的值域是(-1,1)时，我在用对数的时候只要不取小于0的部分，只取(0,1)就行了；
比如真数的值域是(-1,正无穷)时，我在用对数的时候只取(0,正无穷)即可；
而要使对数的值域为r，则真数一定要能取尽所有正数，即真数的值域要包含(0,正无穷)这个区间；
比如，如果真数的值域是(1,正无穷)时，对数的值域显然是不可能为r的；
所以，判别式△≥0；
当△<0时，真数的值域哪怕是(0.0000000001,正无穷)，你画出对数的图像，就知道它的值域不是从负无穷到正无穷。。。

Answer 3

对数函数y=lgx,
若x的定义域是x>0，但如果在这个定义域上再有别的限制时，比如x>1，x<9之类的。这样y也就有了限制，值域就不再是R了。所以这题的关键是值域是R，说明
x2-2ax+3能够取到所有的正数。也就是变成了这个二次函数必须能够取到所有的正数。所以要求Δ>=0,只有这个时候，才能取到所有的正数。至于这个二次函数小于0和等于0的时候，实际上没有意义的。但这题问的是值域，跟定义域无关。不要抓着定义域无关。

Answer 4

这是考虑f(x)的值域为R的极限情况，
f(x)=∞时，u=g(x)=(1/2)^∞=0，
如果u取不到0，则f(x)不能为∞，只能是有限域。