Question

求下列矩阵的特征值与特征向量

Answer 1

设矩阵A的特征值为λ那么
|A-λE|=
1-λ
2
4
2
-2-λ
2
4
2
1-λ
第1列减去第2列×2
=
-3-λ
2
4
6+2λ
-2-λ
2
0
2
1-λ
第2行加上第1行×2
=
-3-λ
2
4
0
2-λ
10
0
2
1-λ
=(-3-λ)(λ^2-3λ-18)=0
解得λ=6，-3，-3
当λ=6时，
A-6E=
-5
2
4
2
-8
2
4
2
-5
第1行加上第3行，第3行减去第2行×2
～
-1
4
-1
2
-8
2
0
18
-9
第2行加上第1行×2，第3行除以9，交换第2和第3行，第1行×(-1)
～
1
-4
1
0
2
-1
0
0
0
第1行加上第2行×2
～
1
0
-1
0
2
-1
0
0
0
得到特征向量为(2,1,2)^T
当λ=
-3时，
A+3E=
4
2
4
2
1
2
4
2
4
第1行减去第3行，第3行减去第2行×2，交换第1和第2行
～
2
1
2
0
0
0
0
0
0
得到特征向量为(1,0,-1)^T和(1,-2,0)^T
所以矩阵的特征值为6，-3，-3
对应的特征向量为(2,1,2)^T，(1,0,-1)^T和(1,-2,0)^T