Question

数学压轴题及其解答过程

Answer 1

甘肃省兰州市）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．
（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
答案
、解：（1）作BF⊥y轴于F.
∵A（0，10），B（8，4）
∴FB=8,FA=6,
∴AB=10
（2）由图2可知，点P从点A运动到点B用了10s…
∵AB=10
∴P、Q两点的运动速度均为每秒一个单位长度.…1分
（3）解法1：作PG⊥y轴于G，则PG∥BF.
∴△AGP∽△AFB
∴,即.
∴.
∴.
又∵
∴
即
∵，且在0≤t≤10内，
∴当时，S有最大值.
此时,
∴
解法2：由图2，可设,
∵抛物线过（10，28）∴可再取一个点，当t=5时，计算得，
∴抛物线过（），代入解析式，可求得a,b
（4）这样的点P有2个.