Question

简单微积分应用题

Answer 1

1.微分在近似计算中的应用：
要在半径r=1cm的铁球表面上镀一层厚度为0.01cm的铜，求所需铜的重量w（铜的密度k=8.9g/cm^3）(说明：cm^3后面的3是幂，也就是立方厘米，下面的r^3也是指r的3次方，依此类推）
解：先求镀层的体积，再乘以密度，便得铜的质量。显然，镀层的体积就是两个球体体积这差。设球的体积为v，则v=f(r)=4πr^3/3
由题意可取r'=1,
△r=0.01
于是，△v≈dv=f'(r')△r=f'(1)*0.01,
而f'(1)=(4πr^3/3)'|r'=4π
所以铜的体积约为dv=f'(1)*0.01=4π*0.01≈0.13(cm^3)
于是镀铜的质量约为dw=kdv≈0.13×8.9≈1.16(g)
2.定积分在物理学中的应用：
根据虎克定律，弹簧的弹力与形变的长度成正比。已知汽车车厢下的减震弹簧压缩1cm需力14000n，求弹簧压缩2cm时所作的功。
解：由题意，弹簧的弹力为f(x)=kx(k为比例常数），当x=0.01m时
f(0.01)=k×0.01=1.4×10^4n
由此知k=1.4×10^6,故弹力为f(x)=1.4×10^6x
于是，w=∫上标0.02下标0（1.4×10^6x)dx=1.4×10^6*x^2/2|上标0.02下标0
=280(j),即弹簧压缩2cm时所作的功为280j。