Question

如图, AD平行BC ,E为AB的中点,DE平分角ADC,CE平分角BCD,求证:AD+BC=CD

Answer 1

证明：
方法一：
在DC上截取DE＝DA，连接EM
因为DM平分∠ADC
所以∠ADM＝∠EDM＝∠ADC/2
又因为DM＝DM
所以△ADM≌△EDM（SAS）
所以∠AMD＝∠EMD，ED＝AD
因为CM平分∠BCD
所以∠DCM＝∠BCM＝∠BCD/2
因为AD//BC
所以∠ADC＋∠BCD＝180°
所以∠DCM＋∠MDC＝90°
所以∠CMD＝90
所以∠EMD＋∠EMC＝90°，∠AMD＋BMC＝90°
所以∠EMC＝∠BMC
又因为CM＝CM
所以△CBM≌△CEM（ASA）
所以EC＝BC
所以CD＝EC＋ED
即CD＝AD＋BC
方法二：
延长DM与CB的延长线交于F
因为AD//BC
所以∠ADF＝∠F
因为DM平分∠BCD
所以∠ADF＝∠CDF
所以∠CDF＝∠F
所以CD＝CF
因为CM平分∠BCD
所以根据“三线合一”性质得DM＝FM
（实际上还能得到CM⊥DF，这也是方法一中证明的一个结论，但证法不同）
因为∠AMD＝∠BMF
所以△ADM≌△BFM（AAS）
所以AD＝BF
所以CD＝CF＝BC＋BF＝AD＋BC
方法三：
取CD的中N，连接MN
证明M是中点后，MN就是中位线，
（证明见：
http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/b1bd0635f9fefd3d5ab5f561.html）
所以2MN＝AD＋BC，
而△AMB是直角三角形（CM⊥DM上面已经证明）
则MN是斜边CD上的中线，所以2MN＝CD
所以CD＝AD＋BC