Question

已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝2loga(2x＋t)(t∈R)...

已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝2loga(2x＋t)(t∈R)，其中x∈[0,15]，a＞0，且a≠1. (1)若1是关于x的方程f(x)－g(x)＝0的一个解，求t的值； (2)当0＜a＜1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范围；

Answer 1

(1)由题意得f(1)－g(1)＝0，
即loga2＝2loga(2＋t)，解得t＝－2＋.
(2)不等式f(x)≥g(x)恒成立，
即loga(x＋1)≥loga(2x＋t)(x∈[0,15])恒成立，
它等价于≤2x＋t(x∈[0,15])，
即t≥－2x(x∈[0,15])恒成立．
令＝u(x∈[0,15])，则u∈[1,4]，x＝u2－1，
－2x＝－2(u2－1)＋u＝－22＋，
当u＝1时，－2x最大值为1.
∴t≥1为实数t的取值范围．