在数列{an}中,an〉0,且Sn=1/2(an+1/an)(n属于N*)求证an=√n-√(n-1)
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an>0
n=1时
a1+1/a1=2S1=2a1
a1=1
n>=2时
2Sn=an+1/an=Sn-S(n-1)+1/(Sn-S(n-1))
2Sn*(Sn-S(n-1))=(Sn-S(n-1))^2+1
Sn^2=S(n-1)^2+1
数列{Sn^2}是等差数列，首项S1^2=1，公差为1，
所以Sn^2=n
Sn=根号n
an=Sn-S(n-1)=根号n-根号(n-1)
代入n=1亦符合
n=1时
a1+1/a1=2S1=2a1
a1=1
n>=2时
2Sn=an+1/an=Sn-S(n-1)+1/(Sn-S(n-1))
2Sn*(Sn-S(n-1))=(Sn-S(n-1))^2+1
Sn^2=S(n-1)^2+1
数列{Sn^2}是等差数列，首项S1^2=1，公差为1，
所以Sn^2=n
Sn=根号n
an=Sn-S(n-1)=根号n-根号(n-1)
代入n=1亦符合
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