Question

高数 求极限 x→0时 lim(a^x-1)/x=?

高数 求极限 x→0时 lim(a^x-1)/x=?

Answer 1

这个问题之前有人问过我,再回答一遍给你.一般人会用洛必达法则：设
(1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim
f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么
x→a时
lim
f(x)/F(x)=lim
f'(x)/F'(x).具体你的题目就是分子求导得到a^x*lna,分母求导得到1,再取极限x->0,分子变成lna,就是极限值.但是题目要求的这个极限其实就是函数a^x在0处的导数值,因为导数本身就是由这个极限定义出来的.所以这里不应该再用求导的方法来做.下面的方法有点麻烦,但是却是这道题的最好的解答,你应该可以看得懂：令a^x-1=t,根据指数函数连续性,当x->0时,t->0然后,x=loga(1+t),（以a为底的对数）(a^x-1)/x=t/[loga(1+t)]
并且
x->0变成是t->0的极限因为[loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)]
并且,t->0时,[(1+t)^(1/t)]=e是显然的.所以
[loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)]
->
loga(e)所以
(a^x-1)/x=t/[loga(1+t)]
->
1/loga(e)=lna