Question

一道数列求前n项和的题目

数列1,1+2,1+2+2的平方,1+2+2平方+2三次方……的前n项的和Sn是多少？ 请高手讲一下具体做法和思路，谢谢……

Answer 1

首先问一下，你要求的Sn到底是1+2+2^2+2^3+....+2^n
还是1+(1+2)+(1+2+2^2)+......+(1+2+2^2+...+2^n)
如果是前者，有公式，高二会学
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中q是公比，带到这个题里就是2^n-1，
如果是后者，把它展开，等于n*1+(n-1)*2+(n-2)*2^2+......+2*2^(n-1)+1*2^n,这是一种等差数列乘以等比数列的题。
遇到这类题，用错位相减法，如下：
Sn=n*1+(n-1)*2+(n-2)*2^2+......+2*2^(n-1)+1*2^n
每一项乘以公比
2Sn=n*2+(n-1)*2^2+(n-2)*2^3+......+2*2^n+1*2^(n+1)
2式-1式：
Sn=-n*1+2+2^2+2^3+.....+2^n+2^(n+1)=2^(n+1)-2-n