Question

如何求二次整式与二次分式的和的最值

Answer 1

解:像这种分子分母都是二次的,就用"判别式法"(核心思想:函数化方程,再用不等式(从判别式来)求最值)
具体方法如下:设y=[(3m+1)^2]/(5m^2+6m+2)分母的判别式△=6^2-4*5*2=-4<0,又分母的二次项系数大于0,故分母恒正.所以可以将分母移到等式左边,然后以m为主元进行整理,得:(5y-9)m^2+(6y-6)m+(2y-1)=0
因为该函数的值域存在,即y存在,故这个方程的判别式△>=0
即△=(6y-6)^2-4(5y-9)(2y-1)>=0
整理得:y(y-5)<=0
故0<=y<=5
所以该式的最大值为5
(如果分母有可能为0,那么就先将分母可能为0的情况讨论一下)
注:如果是(ax^2+bx+c)/(dx+e)型的,令t=dx+e,求得x=(t-e)/d,代入分子
然后化成at+b(1/t)+c的形式,若a,b同号,则根据基本不等式求解;若a,b异号,则根据单调性求解.(dx+e)/(ax^2+bx+e)型的同上,化到分母上做就行了
做最值问题,关键要选择方法.常用的就三个:函数,方程,不等式
函数大概70%,方程20%,不等式10%.三者要会互相转化,是做好最值题的关键

Answer 2

一、整式
1.
代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数数字或是字母连接而成的式子叫做代数式.
2.
代数式的值：
3.
整式
（1）单项式：由数与字母的
组成的代数式叫做单项式（单独一个数或
也是单项式）.单项式中的
叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的
叫做这个单项式的次数.
(2)
多项式：几个单项式的
叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的
,其中次数最高的项的
叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做
.
(3)
整式：
与
统称整式.
4.
同类项：在一个多项式中，所含
相同并且相同字母的
也分别相等的项叫做同类项.
合并同类项的法则是
___.
5.
幂的运算性质:
am·an=
；
(am)n=
；
am÷an＝_____；
(ab)n=
.
6.
乘法公式：
(1)
；
（2）（a＋b）(a－b)＝
；
(3)
(a＋b)2＝
；(4)(a－b)2＝
.
7.
整式的除法
⑴
单项式除以单项式的法则：把
、
分别相除后，作为商的因式；对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
⑵
多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以
，再把所得的商
．
二、因式分解
1.
因式分解：
把一个多项式化为几个整式的
的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．
2.
因式分解的方法：⑴
，⑵
，
3.
提公因式法：
__________
_________.
4.
公式法:
⑴
⑵
，
⑶
.
5．因式分解的一般步骤:一、“提”（取公因式），二、“用”（公式）．
三、分式
1.
分式：整式A除以整式B，可以表示成
的形式，如果除式B中含有
，那么称为分式．若
，则
有意义；若
，则
无意义；若
，则＝0.
2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的
．用式子表示为
.
3.
约分：把一个分式的分子和分母的
约去，这种变形称为分式的约分．
4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为
的分式，这一过程称为分式的通分.
5．分式的运算
⑴
加减法法则：①
同分母的分式相加减：
.
②
异分母的分式相加减：
.
⑵
乘法法则：
.乘方法则：
.
⑶
除法法则：
.
四、二次根式
1．二次根式的有关概念
⑴
式子
叫做二次根式．注意被开方数只能是
．
⑵
简二次根式：被开方数所含因数是
，因式是
，不含能
的二次根式，叫做最简二次根式．
(3)
同类二次根：化成最简二次根式后，被开方数
几个二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质
3．二次根式的运算
(1)
二次根式的加减：
①先把各个二次根式化成
；
②再把
分别合并，合并时，仅合并
。