Question

设函数fx在(-1,1)上有定义,且lim

设函数f(x)在[-1,1]上有定义,f在x=0处可导,求
lim(n->∞) 【f(1/n^2)+f(2/n^2)+...+f(n/n^2)-nf(0)】
因为有无数个项,用不了lim(a+b)=lima+limb的公式,

Answer 1

直接用定义做估计即可。

对任意的e>0，存在d>0，当0<x<d时，有-ex/2<f(x)-f(0)-f’(0)x<ex/2(此式可由导数的定义得到)。

取x=1/n^2，...，n/n^2，然后这些不等式相加得-e(n+1)/4n<f(1/n^2)+...+f(n/n^2)-nf(0)-f'(0)(n+1)/(2n)<e(n+1)/(4n)，即

|f(1/n^2)+...+f(n/n^2)-nf(0)-f'(0)/2|<e(n+1)/(4n)+|f'(0)|/(2n)。故得极限为f'(0)/2。

无穷小量：

若x→0时，limf(X)=0，则称f(X)是当x→0时的无穷小量，简称无穷小。

无穷小量就是极限为零的量。确切地说，当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时，函数值f(x)与零无限接近，即limf(x)=0，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。

例如，f(x)=(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(x)= 1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量（注意：特别小的数和无穷小量不同）。

Answer 2

直接用定义做估计即可。对任意的e>0，存在d>0，当0<x<d时，有：

-ex/2<f(x)-f(0)-f’(0)x<ex/2（此式可由导数的定义得到）。

取x=1/n^2，...，n/n^2，然后这些不等式相加得：

-e(n+1)/4n<f(1/n^2)+...+f(n/n^2)-nf(0)-f'(0)(n+1)/(2n)<e(n+1)/(4n)，即：

|f(1/n^2)+...+f(n/n^2)-nf(0)-f'(0)/2|<e(n+1)/(4n)+|f'(0)|/(2n)。

故得极限为f'(0)/2。

1、数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程。

极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

2、两个重要极限：

（1） 

（2）  或 

（其中  是一个无理数，也就是自然对数的底数）

以上内容参考来源：百度百科_极限

Answer 3

直接用定义做估计即可.对任意的e>0,存在d>0,当0<x<d时,有
-ex/2<f(x)-f(0)-f’(0)x<ex 2(此式可由导数的定义得到). 取x=1/n^2,...,n/n^2,然后这些不等式相加得
-e(n+1)/4n<f(1 (4n),即<br="" (2n) |f(1/n^2)+...+f(n/n^2)-nf(0)-f'(0)/2|<e(n+1) (2n). 故得极限为f'(0)/2.
细节你自己写吧 </f(x)-f(0)-f’(0)x </x<d时,有