Question

高二 数学 数列 请详细解答,谢谢! (30 20:8:43)

已知函数f（x）=2^x-2^(-x),数列{An}满足f（logAn/log2）=-2n （1）求数列{An}的通项公式 （2）求证：数列{An}是递减数列

Answer 1

依题意得：
2^（logAn/log2）+2^（-logAn/log2)=-2n
由换底公式可得logAn/log2=log2(An)（2为底，An为真数）
设log2(An)=x
由对数的定义可知2^x=An
把log2(An)=x代入第一个式子中可得：
2^x+2^(-x)=-2n
又因为2^x=An
所以An+1/An=-2n
两边同时乘以An，得An^2+2nAn-1=0
由求根公式可得An=-n±√(n^2+1)
但是因为logAn有意义，所以An大于0
所以An=-n+√(n^2+1)
此为An的通项公式
（2）
由（1）知An=-n+√(n^2+1)
现构造函数f(n)，使得f(n)=-n+√(n^2+1)
对f(n)求导可得f'(n)=n/(√(n^2+1))-1
因为n/(√(n^2+1))<n/√(n^2)=1
所以n/(√(n^2+1))-1<0
因为f(n)的导函数始终小于0
所以f(n)在其定义域上递减
所以An是递减数列。
楼上两位可能理解错题意，导致在计算上出错。