Question

排列组合 C(0 n)+C(1 n)+C(2 n)+...+C(n-1 n)+C...

排列组合 C(0 n)+C(1 n)+C(2 n)+...+C(n-1 n)+C(n n)（n∈N*）的值,并证明你的结果. 括号内前一个数在C上方,后一个数在C下方...值为2^n,我想知道怎么证明.

Answer 1

用数学归纳法证明.
（i）当n=1时,C（0
1）+C（1
1）=2=2^1
所以等式成立.
（ii）假设n=k时,（k≥1,k∈N*）时等式成立
即：C(0
k)+C(1
k)+C(2
k)+...+C(k-1
k)+C(k
k)=2^k
当n=k+1时,
C(0
k+1)+C(1
k+1)+C(2
k+1)+...+C(k
k+1)+C(k+1
k+1)
=C(0
k)+C(0
K)+C(1
k)+C(1
k)+C(2
k)+...+C(k-1
k)+C(k
k)+C(k
k)
=2[C(0
k)+C(1
k)+C(2
k)+...+C(k-1
k)+C(k
k)]
=2*2^k
=2^(k+1)
∴
等式也成立
由（i）(ii)得,等式对n∈N*都成立.
（注：C(k+1
k+1)=C(k
k)=1
,C(0
k+1)=C(0
k)=1
,C(m,n)
=C(m,n－1)＋C(m－1,n－1)
）