Question

已知函数f（x）=2aex+1，g（x）=lnx-lna+1-ln2，其中a为常...

已知函数f（x）=2aex+1，g（x）=lnx-lna+1-ln2，其中a为常数，e≈2.718，函数y=f（x）的图象与坐标轴交点处的切线为l1，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l2，且l1∥l2． （Ⅰ）求a的值． （Ⅱ）若对任意的x∈[1，5]，不等式x-m＞xf(x)-x成立，求实数m的取值范围． （Ⅲ）若F（x）=λx2-x+1-g（x）（λ＞0）有唯一零点，求λ的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，2a+1），
又f′（x）=2aex，∴f′（0）=2a，
函数y=g（x）的图象与直线y=1的交点为（2a，1），
又g′（x）=1x，g′（2a）=12a，
由题意可知，2a=12a，即a2=14又a＞0，
所以a=12，
（Ⅱ）不等式x-m＞xf（x）-x可化为m＜x-xf（x）+x即m＜x-xex，
令h（x）=x-xex，则h′（x）=1-（12x+x）ex，
∵x＞0，∴12x+x≥212=2，
又x＞0时，ex＞1，∴（12x+x）ex＞1，故h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上是减函数，
即h（x）在[1，5]上是减函数，
因此，在对任意的x∈[1，5]，不等式x-m＞xf（x）-x成立，
只需m＜h（5）=5-5e5，
所以实数m的取值范围是（-∞，5-5e5）；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知g（x）=lnx+1，则F（x）=λx2-lnx-x，
则F′（x）=2λx2-x-1x．
令F′（x）=0，2λx2-x-1=0．
因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0，
方程有两异号根设为x1＜0，x2＞0．
因为x＞0，所以x1应舍去．
当x∈（0，x2）时，F′（x）＜0，F（x）在（0，x2）上单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）在（x2，+∞）单调递增．
当x=x2时，F′（x2）=0，F（x）取最小值F（x2）．
因为F（x）=0有唯一解，所以F（x2）=0，
则
λx22-lnx2-x2=02λx22-x2-1=0，因为λ＞0，所以2lnx2+x2-1=0（*）
设函数h（x）=2lnx+x-1，因为当x＞0时，
h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，
代入方程组解得λ=1．