Question

数列中,,. Ⅰ求证:数列是等差数列; Ⅱ求数列的前n项和.

（本题满分14分）已知数列 中， ， ，其前 项和 满足 （ ， ）． （Ⅰ）求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式； （Ⅱ）设 ， 求数列 的前 项和  ； （Ⅲ）设 （ 为非零整数， ），试确定 的值，使得对任意 ，有 恒成立．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）（Ⅲ）存在，使得对任意，都有． 解析试题分析：（1）利用数列的前n项和与通项an之间的关系，求出该数列的通项公式是解决本题的关键；注意分类讨论思想的运用；（2）利用第一问中所求的公式表示出数列{bn}的通项公式，根据数列的通项公式选择合适的方法----错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn．（3）要使得即为，对于n分为奇数和偶数来得到。（Ⅰ）由已知，（，）， 即（，），且．∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴． …………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 它的前项和为（Ⅲ）∵，∴，∴恒成立，∴恒成立． （ⅰ）当为奇数时，即恒成立当且仅当时，有最小值为1，∴． （ⅱ）当为偶数时，即恒成立当且仅当时，有最大值，∴．即，又为非零整数，则．综上所述，存在，使得对任意，都有．…………14分考点：本试题主要考查了数列的前n项和与通项an之间的关系，考查等差数列的判定，考查学生分类讨论思想．运用数列的通项公式选取合适的求和方法求出数列{bn}的前n项和，体现了化归思想．点评：解决该试题的关键是能将已知中前n项和关系式，通过通项公式与前n项和的关系得到通项公式的求解，并合理选用求和方法得到和式。