Question

已知函数f（x）={1，x∈Q0，x∈CRQ，则f（f（x））=_____下面三...

已知函数f（x）={1，x∈Q0，x∈CRQ，则f（f（x））=_____ 下面三个命题中，所有真命题的序号是_____． ①函数f（x）是偶函数； ②任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立； ③存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．

Answer 1

1 ①②③
解：∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0
∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，ff（（x））=f（0）=1
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1
接下来判断三个命题的真假
对于①，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
所以对任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），故①正确；
对于②，若x是有理数，则x+T也是有理数；
若x是无理数，则x+T也是无理数
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故②正确；
对于③，取x1=-√33，x2=0，x3=√33，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0
∴A（√33，0），B（0，1），C（-√33，0），恰好△ABC为等边三角形，故③正确．
故答案为：1
①②③