Question

将ln(a+x)展开为X的幂级数有两种结果，为什么？

一种是将ln(a+x)转化为lna+ln(1+X/a)后展开 另一种是将ln（a+x）先求导为1/a+x而如1/x+1可以展开1-x+x^2-x^3……+（-1）^(n+1)x^n两边再积分 为什么两种方法的结果不一样。（第二种方法比第一种方法少了lna） 谢谢！

Answer 1

不定积分应加上一个积分常数才算正确。在此，lna就是积分常数。

Answer 2

这个展开用到常用函数公式1/(1+x)的展开式来变形。第一步的ln
a是为了变形成前面的常数为1，后面的积分是为了把ln函数转化为1/(1+t)。
如果不利用这个常用函数，就只能求高阶导数了，很麻烦。