Question

初中几何题（平行四边形）

如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F． （1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD； （2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比； （3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

1.
证明:AD⊥BC
且△ABC是等边三角形
=>∠BAD=30°又△DAE是等边三角形
=>AB⊥DE
又CF∥DE
=>CF⊥AB
AD⊥BC
=>AD=CF
又△DAE是等边三角形
=>CF=DE
CF∥DE
=>□DEFC是平行四边形
=>EF=CD
2.
设△ABC的边是X
则△ABC的面积为
/4
X
△ADE面积为3
/16
X
△AEF面积=1/3△ADE面积
所以△AEF和△ABC的面积比是1：4
3.
成立。
CF∥DE
=>∠BDE=∠BCF
∠CFA=∠B+∠BCF
∠B=∠ADE=60°
∴∠BDA=∠CFA
AC=AB
∠B=∠BAC=60°
△CFA≌BDA
∴△CF=DE
又
CF∥DE
∴EF=CD