Question

已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x+2)=-f(x)+f(1...

已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x+2)=-f(x)+f(1)成立，若函数y=f(x+1)的图象关于点(-1，0)对称，则f(2014)=00.

Answer 1

解答:解:∵函数f(x+1)的图象关于(-1，0)对称且把y=f(x+1)向右平移1个单位可得y=f(x)的图象，
∴函数y=f(x)的图象关于(0，0)对称，即函数y=f(x)为奇函数，
∴f(0)=0
∵f(x+2)=-f(x)+f(1)
令x=-1可得
f(1)=-f(-1)+f(1)，
∴f(-1)=f(1)=0，
从而可得f(x+2)=-f(x)=f(-x)，
即函数是以4为周期的周期函数
∴f(2014)=f(503×2)=f(2)=-f(0)=0，
故答案为:0