Question

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1． 证明： (

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；(Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．... 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1． 证明： (Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ； (Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1． 展开

Answer 1

构造函数即可，答案如图所示

Answer 2

微分方程学过没
y`+(2+x/x)y=0
那么同时乘以e^[∫(2+x/x)dx]=x^2e^x
所以构造函数F(x)=x^2e^xf(x)
则F`(x)=e^x[x^2f(x)+2xf(x)+x^2f`(x)]
(因为x>0可以提出一个x)
就化为F`(x)=xe^x[xf(x)+2f(x)+xf`(x)]

Answer 3

已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明①存在€∈(0，1)，使得f(€)=1-€

Answer 4

1.
思路是将€全部换成x从而构造函数，运用零值定理，因为你发现第一题没有出现f‘（x）；相反如果要使用微分中值定理，该式中必然存在f’（x）。
2.
2次对新构造的函数g(x)=f(x)+x-1使用拉格朗日中值定理，用€实现区间的划分。（0，€）和（€，1）中分别存在£，n。