Question

数列{a n } 中a 1 = 1 2 ，前n项和S n 满足S n+1 -S n = ( 1 2 ) n+1 （n∈N *

数列{a n } 中a 1 = 1 2 ，前n项和S n 满足S n+1 -S n = ( 1 2 ) n+1 （n∈N * ）． （ I ） 求数列{a n }的通项公式a n 以及前n项和S n ； （Ⅱ）记 b n = n+1 2 a n （n∈N * ）求数列{b n } 的前n项和T n ； （Ⅲ）试确定T n 与 5n 4n+2 （n∈N * ）的大小并证明．

Answer 1

（I）
s

n+1
-
s
n
=(
1
2
)
n+1
得
a
n+1
=(
1
2
)
n+1
（n∈N
*
）（1分）
又a
1
=
1
2
，故
a
n
=(
1
2
)
n
（n∈N
*
）（2分）
从而
s
n
=
1
2
[1-
(
1
2
)
n
]
1-
1
2
=1-(
1
2
)
n
（4分）
（Ⅱ）由（I）
b
n
=
n+1
2
a
n
=
n+1
2×
2
n
=
n+1
2
n+1
T
n
=
2
2
2
+
3
2
3
+
4
2
4
++
n+1
2
n+1
，（5分）
1
2
T
n
=
2
2
3
+
3
2
4
+
4
2
5
++
n
2
n+1
+
n+1
2
n+2
（6分）
两式相减，得
1
2
T
n
=
2
2
2
+
1
2
3
+
1
2
4
+
1
2
5
++
1
2
n+1
-
n+1
2
n+2
（7分）
=
1
2
+
1
2
3
×(1-
1
2
n-1
)
1-
1
2
-
n+1
2
n+2
=
3
4
-
1
2
n+1
-
n+1
2
n+2
（8分）
所以
T
n
=
3
2
-
1
2
n
-
n+1
2
n+1
=
3
2
-
n+3
2
n+1
（9分），
（Ⅲ）
T
n
-
5n
4n+2
=
3
2
-
n+3
2
n+1
-
5n
4n+2
=
(n+3)(
2
n
-2n-1)
2
n+1
(2n+1)
于是确定T
n
与
5n
4n+2
的大小关系等价于比较2
n
与2n+1的大小（10分）
n=1时2＜2+1，n=2时2
2
＜2×2+1，n=3时2
3
＞2×3+1（11分）
令g（x）=2
x
-2x-1，g′（x）=2
x
ln2-2，x＞2时g（x）为增函数，（12分）
所以n≥3时g（n）≥g（3）=1＞0，2
n
≥2n+1，（13分）
综上所述n=1，2时
T
n
＜
5n
4n+2
n=3时
T
n
＞
5n
4n+2
（14分）