Question

设数列an的前n项和为sn 已知2Sn+1=Sn+λ(λ是常数),a1=2,a2...

设数列an的前n项和为sn 已知2Sn+1=Sn+λ(λ是常数),a1=2,a2=1. 求所有满足等式((Sn)-m)/((Sn+1)-m)=1/((am)+1)成立的正整数m,n

Answer 1

2S2=S1+λ2(a1+a2)=a1+λa1=2
a2=1代入λ+2=2(2+1)解得λ=42S(n+1)=Sn
+42S(n+1)-8=Sn-4[S(n+1)-4]/(Sn
-4)=1/2,为定值S1-4=a1-4=2-4=-2,数列{Sn
-4}是以-2为首项,1/2为公比的等比数列Sn
-4=(-2)(1/2)^(n-1)=-1/2^(n-2)Sn=4-
1/2^(n-2)n≥3时,an=Sn-S(n-1)=4-1/2^(n-2)
-4+1/2^(n-3)=1/2^(n-2)n=1时,a1=1/2^(-1)=2；n=2时,an=1/2^0=1,均满足通项公式数列{an}的通项公式为an=1/2^(n-2)(Sn
-m)/[S(n+1)-m]=1/(am
+1)S(n+1)-m=(Sn
-m)(am
+1)=Sn·am+Sn
-m·am
-mS(n+1)-Sn=Sn·am
-m·ama(n+1)=Sn·am-m·am1/2^(n-1)=[4-
1/2^(n-2)][1/2^(m-2)]-m·[1/2^(m-2)]等式两边同乘以2^(m-2)·2^(n-2)2^(m-3)=2ⁿ
-1-m·2^(n-2)2^(m-3)+m·2^(n-2)=2ⁿ-1n=1时,2^(m-3)+
m/2=1
2^(m-3)=1-
m/22^(m-3)恒为正,要1-
m/2为正,正整数m只能为1,此时等式左边=2^(-2)=1/4,等式右边=1-
1/2=1/2
左边≠右边,舍去n=2时,2^(m-3)+m=3
2^(m-3)=3-m2^(m-3)恒为正,要3-m为正,正整数m只能为1或2,此时等式左边=1/4或1/2,等式右边为整数,左边≠右边,舍去n≥3时,2^(n-2)恒为偶数,m·2^(n-2)恒为偶数,等式右边2ⁿ-1恒为奇数,要等式成立,2^(m-3)为奇数,又当且仅当m=3时,2^(m-3)=2^0=1,为奇数,m>3时,2^(m-3)恒为偶数,因此只有m-3=0m=3此时等式变为3·2^(n-2)=2ⁿ-23·2^(n-3)=2^(n-1)
-1n≥3,2^(n-1)恒为偶数,2^(n-1)
-1恒为奇数,要等式成立,3·2^(n-3)为奇数,又当且仅当n=3时,2^(n-3)=2^0=1,为奇数,n>3时,2^(n-3)恒为偶数,3·2^(n-3)恒为偶数,因此只有n-3=0n=3综上,得m=3
n=3